Una función racional es una ecuación que toma la forma y = N (x) / D (x) donde N y D son polinomios. Intentar dibujar un gráfico preciso de uno a mano puede ser una revisión completa de muchos de los temas de matemáticas más importantes de la escuela secundaria, desde el álgebra básica hasta el cálculo diferencial. Considere el siguiente ejemplo: y = (2 x 2 - 6 x + 5) / (4 x + 2).
Pasos
Paso 1. Encuentra la intersección con el eje y
Simplemente establezca x = 0. Todo menos los términos constantes se desvanecen, dejando y = 5/2. Expresando esto como un par de coordenadas, (0, 5/2) es un punto en la gráfica. Grafica ese punto.
Paso 2. Encuentra la asíntota horizontal
Divida largamente el denominador en el numerador para determinar el comportamiento de y para valores absolutos grandes de x. En este ejemplo, la división muestra que y = (1/2) x - (7/4) + 17 / (8 x + 4). Para valores grandes positivos o negativos de x, 17 / (8 x + 4) se acerca a cero, y la gráfica se aproxima a la línea y = (1/2) x - (7/4). Utilizando una línea discontinua o ligeramente dibujada, grafique esta línea.
- Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador, no hay división que hacer y la asíntota es y = 0.
- Si deg (N) = deg (D), la asíntota es una línea horizontal en la razón de los coeficientes principales.
- Si deg (N) = deg (D) + 1, la asíntota es una línea cuya pendiente es la razón de los coeficientes principales.
- Si deg (N)> deg (D) + 1, entonces para valores grandes de | x |, y pasa rápidamente al infinito positivo o negativo como polinomio cuadrático, cúbico o de grado superior. En este caso, probablemente no valga la pena graficar con precisión el cociente de la división.
Paso 3. Encuentra los ceros
Una función racional tiene un cero cuando su numerador es cero, así que establezca N (x) = 0. En el ejemplo, 2 x 2 - 6 x + 5 = 0. El discriminante de esta cuadrática es b 2 - 4 ac = 62 - 4 * 2 * 5 = 36 - 40 = -4. Dado que el discriminante es negativo, N (x) y, en consecuencia, f (x), no tiene raíces reales. La gráfica nunca cruza el eje x. Si se encontraron ceros, agregue esos puntos al gráfico.
Paso 4. Encuentra las asíntotas verticales
Una asíntota vertical ocurre cuando el denominador es cero. Al establecer 4 x + 2 = 0 se obtiene la línea vertical x = -1/2. Grafique cada asíntota vertical con una línea clara o discontinua. Si algún valor de x hace que N (x) = 0 y D (x) = 0, puede que haya o no una asíntota vertical allí. Esto es raro, pero vea los consejos sobre cómo tratarlo si ocurre.
Paso 5. Mira el resto de la división en el paso 2
¿Cuándo es positivo, negativo o cero? En el ejemplo, el numerador del resto es 17, que siempre es positivo. El denominador, 4 x + 2, es positivo a la derecha de la asíntota vertical y negativo a la izquierda. Esto significa que la gráfica se aproxima a la asíntota lineal de la anterior para valores positivos grandes de x y de abajo para valores negativos grandes de x. Dado que 17 / (8 x + 4) nunca puede ser cero, esta gráfica nunca interseca la línea y = (1/2) x - (7/4). No agregue nada al gráfico en este momento, pero tenga en cuenta estas conclusiones para más adelante.
Paso 6. Encuentra los extremos locales
Un extremo local puede ocurrir siempre que N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0. En el ejemplo, N '(x) = 4 x - 6 y D' (x) = 4. N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = (4 x - 6) (4 x + 2) - (2 x 2 - 6 x + 5) * 4 = 0. Expandir, combinar términos y dividir entre 4 hojas x 2 + x - 4 = 0. La fórmula cuadrática muestra raíces cerca de x = 3/2 y x = -5/2. (Estos difieren en aproximadamente 0.06 de los valores exactos, pero nuestro gráfico no será lo suficientemente preciso como para preocuparse por ese nivel de detalle. Elegir una aproximación racional decente facilita el siguiente paso).
Paso 7. Encuentre los valores de y de cada extremo local
Reemplaza los valores de x del paso anterior en la función racional original para encontrar los valores de y correspondientes. En el ejemplo, f (3/2) = 1/16 y f (-5/2) = -65/16. Agregue estos puntos, (3/2, 1/16) y (-5/2, -65/16), al gráfico. Como hicimos una aproximación en el paso anterior, estos no son los mínimos y máximos exactos, pero probablemente estén cerca. (Sabemos que (3/2, 1/16) está muy cerca del mínimo local. Desde el paso 3, sabemos que y siempre es positivo cuando x> -1/2 y encontramos un valor tan pequeño como 1/16, así que al menos en este caso, el error probablemente sea menor que el grosor de la línea).
Paso 8. Conecte los puntos y extienda suavemente el gráfico desde los puntos conocidos hasta las asíntotas teniendo cuidado de acercarse a ellos desde la dirección correcta
Tenga cuidado de no cruzar el eje x excepto en los puntos ya encontrados en el paso 3. No cruce la asíntota horizontal o lineal excepto en los puntos ya encontrados en el paso 5. No cambie de pendiente ascendente a pendiente descendente excepto en el extremo encontrado en el paso anterior.
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Consejos
- Algunos de estos pasos pueden implicar la resolución de un polinomio de alto grado. Si no puede encontrar soluciones exactas mediante factorización, fórmulas u otros medios, calcule las soluciones utilizando técnicas numéricas como el método de Newton.
- Si sigue los pasos en orden, generalmente no es necesario utilizar pruebas de segunda derivada o métodos similares potencialmente complicados para determinar si los valores críticos son máximos locales, mínimos locales o ninguno de los dos. Intente utilizar la información de los pasos anteriores y un poco de lógica primero.
- Si intenta hacer esto solo con métodos de precálculo, puede reemplazar los pasos para encontrar los extremos locales calculando varios pares ordenados (x, y) adicionales entre cada par de asíntotas. Alternativamente, si no le importa por qué funciona, no hay ninguna razón por la que un estudiante de precálculo no pueda tomar la derivada de un polinomio y resolver N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0.
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En casos raros, el numerador y el denominador pueden tener un factor no constante común. Si está siguiendo los pasos, esto se mostrará como un cero y una asíntota vertical en el mismo lugar. Eso es imposible y lo que realmente sucede es uno de los siguientes:
- El cero en N (x) tiene mayor multiplicidad que el cero en D (x). La gráfica de f (x) se acerca a cero en este punto, pero no está definida allí. Indíquelo con un círculo abierto alrededor del punto.
- El cero en N (x) y el cero en D (x) tienen la misma multiplicidad. El gráfico se acerca a un punto distinto de cero para este valor de x, pero no está definido allí. Indique nuevamente esto con un círculo abierto.
- El cero en N (x) tiene menor multiplicidad que el cero en D (x). Aquí hay una asíntota vertical.
